Defenisi, Konsep, dan Simbol

Tugas Makalah Matkul Filsafat Lanjutan Semester 1 PPs UNM

(Firmansyah, Ummy Salmah, Sitti Raehana, Irawati A. Bustam, A. Indrah)

Defenisi, Konsep, dan Simbol

Apakah sebenarnya hakekat matematika itu? Definisi matematika mana yang diterima secara mutlak? Menjawab hal ini memang tidaklah mudah, sama tidak mudahnya dengan seorang buta “menggambarkan bentuk tubuh gajah” bila ia hanya meraba sebagian-sebagian dari tubuh gajah itu. Mungkin sewaktu meraba kaki gajah ia mengatakan gajah itu seperti tiang rumah atau pohon besar. Sewaktu meraba belalainya dia mungkin mengatakan bahwa gajah itu seperti seekor ular, demikian seterusnya. Jadi tidak mengherankan jika dalam mendefinisikan matematika para ahli akan memberikan definisi yang berfokus pada tinjauannya masing-masing. Ada yang tertarik pada perilaku bilangan sehigga melihat matematika dari sudut pandang bilangan. Ada yang memfokuskan perhatiannya pada struktur-struktur sehingga ia melihat matematika dari sudut pandang struktur-struktur itu. 

Tapi terlepas dari definisi matematika yang beragam tersebut, tetap dapat ditarik ciri-ciri yang sama, antara lain (1) matematika memiliki objek kajian yang abstrak; (2) matematika mendasarkan diri pada kesepakatan-kesepakatan; (3) matematika menggunakan pola pikir deduktif; (4) matematika memiliki simbol yang kosong dari arti; (5) matematika memperhatikan semesta pembicaraan; (6) konsisten dalam sistemnya. 

Salah satu ciri yang diungkapkan adalah matematika memiliki objek kajian yang abstrak. Salah satu objek yang dimaksud di sini adalah “konsep” yang merupakan ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Salah satu contohnya adalah “segitiga”, dengan konsep ini sekumpulan objek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga atau bukan contoh. Contoh konsep yang lain yang juga amat penting seperti “fungsi”, “variabel”, dan “konstanta”. Konsep tersebut dijumpai di semua cabang matematika. Banyak konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group”, dan lainnya.

Keberadaan “konsep” dalam matematika tidak lepas dan berkaitan erat dengan “difinisi” yang akan membatasi konsep-konsep yang ada. Keberadaan definisi akan memperjelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu. Dalam makalah ini akan dibahas lebih jauh tentang “definisi” dan beberapa hal yang terkait dengan “definisi”.

A. Pengertian Definisi

Salah satu ciri matematika adalah bertumpu pada kesepakatan. Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian atau circulus in definiando. Konsep primitif juga disebut sebagai undefined term ataupun pengertian-pangkal tidak perlu didefinisikan. Sedangkan Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian atau circulus in probando. Aksioma juga disebut postulat ataupun pernyataan-pangkal (yang sering dinyatakan tidak perlu dibuktikan). Contoh dalam Geometri Euclides misalnya, (1) titik, garis, dan bidang dipandang sebagai konsep primitif, (2) melalui dua buah titik ada tepat sebuah garis lurus yang dapat dibuat, hal ini dipandang sebagai suatu aksioma. 

Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian. Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Suatu sistem aksioma yang diikuti dengan teorema-teorema yang dapat dirunkan daripadanya membentuk suatu struktur. Di dalam suatu struktur matematika yang lengkap terdapat “konsep primitif atau undefined term”, “aksioma-aksioma”, “konsep-konsep yang didefinisikan”, dan “teorema-teorema”. Suatu struktur matematika secara umum dapat ditunjukkan dengan skema berikut

Beberapa buah aksioma, yang berupa beberapa buah pernyataan, dapat membentuk suatu sistem apabila memenuhi syarat berikut: 

1. Independen, yaitu tidak ada satupun aksioma yang dapat diperoleh dari atau dapat diturunkan dari aksioma yang lain. 
2. Konsisten, yaitu tidak ada satupun aksioma yang bertentangan atau kontradiksi dengan aksioma yang lain. 
3. Lengkap, yaitu dari sistem aksioma itu memang dapat dibentuk suatu struktur tertentu yang berarti dapat diangkat atau diturunkan teorema-teorema darinya.

Pengertian pangkal atau kosep primitif sering juga disebut konsep yang tak didefinisikan (undefined term), namun dalam suatu struktur tertentu banyak dijumpai konsep-konsep yang dedefinisikan berdasarkan konsep-konsep terdahulu. Konsep seperti ini kadang disebut konsep bukan pangkal. Dimana pengertian konsep itu sendiri yang digunakan dalam makalah ini adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk melakukan penggolongan atau klasifikasi. Pembentukan suatu konsep dapat melalui: 

1. Abstraksi, yaitu memandang beberapa objek dan menggugurkan ciri-ciri atau sifat-sifat objek yang dianggap tidak penting atau tidak diperlukan dan pada akhirnya hanya diperhatikan atau diambil sifat penting yang dimiliki bersama. 
2. Idealisasi, yaitu proses yang terjadi jika kita berhadapan dengan objek tertentu yang tidak sempurna, misalnya tidak lurus benar, tidak datar benar namun diangap sempurna. 
3. Abstraksi dan idealisasi. 
4. Penambahan syarat pada konsep terdahulu. 

 Pembentukan suatu konsep ditujukan dengan penekanan pada prosesnya. Sedangkan agar dapat jelas dan dapat digunakan secara operasional perlu diungkapkan dalam suatu kalimat yang memuat pembatasan-pembatasan. Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi berasal dari bahasa latin definire yaitu menandai batas-batas pada sesuatu atau menentukan batas. Definisi penting untuk menjelaskan dan membatasi suatu konsep. Jadi definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi atau gambaran atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu. 

“Trapesium” adalah suatu konsep. Sedangkan definisi trapesium itu misalnya: “Trapesium adalah segiempat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong garis yang sejajar salah satu sisinya”. Ini salah satu ungkapan yang membatasi trapesium. Pembuatan definisi dalam matematika sebenarnya ada kebebasan, namun sebelumnya disepakati atau dimasukkan dalam struktur tertentu, belum dapat diberi nilai benar ataupun salah. Penentuan akhir kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah struktur matematika yang berlaku, sebagaimana yang di sebutkan Soedjadi (2000: 23) bahwa hakim tertinggi dalam matematika adalah strukturnya. 

Sebagaimana pebahasan sebelumnya maka kita dapat menarik tujuan dan manfaat definisi adalah untuk menghilangkan kekaburan dan dan kedwiartian suatu istilah atau konsep yang penting dan menghindarkan salah paham dan mengeplisitkan suatu konsep atau pengetahuan intuitif, sehingga gagasan subjektif seseorang dapat menjadi bahan pembicaraan yang objektif diantara peserta komunikasi. 

B. Unsur-unsur Definisi 

Unsur-unsur yang dalam suatu definisi dapat klasifikasikan sebagai berikut: 

1. Latarbelakang pembicaraan dari definisi (semesta) 
2. Genus. 
3. Istilah yang didefinisikan. 
4. Atribut. 

Perhatikan dua kalimat definisi di bawah ini: 

• Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama. 
• Suatu segitiga adalah sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama. 

 Definisi tersebut di atas dapat diperhatikan unsur-unsurnya, yaitu:

1. Latarbelakangnya dalam hal di atas adalah “bangun datar”
2. Genusnya, dalam hal di atas, “segitiga”
3. Istilah yang didefinisikan, dalam hal di atas adalah “segitiga sama sisi”
4. Atributnya, dalam hal di atas adalah “ketiga sisinya sama”. 

Terlihat bahwa untuk menentukan unsur-unsur suatu definisi akan lebih mudah bila kalimat definisinya seperti bentuk kedua, yaitu menggunakan kata “bila dan hanya bila”. Hal itu akan lebih terasa bila akan menentukan atribut dari definisi itu. 

C. Jenis-jenis Definisi 

Beberapa jenis definisi atau ungkapan yang membatasi konsep antara lain: 

1. Definisi analitik
Suatu definisi disebut bersifat analitis bila definisi tersebut menyebutkan genus proksimum dan diferensia spesifika. (Genus proksimum: keluarga terdekat; diferensia spesifika: pembeda khusus). Perhatikan definisi ini (dalam suatu struktur, definisi tertentu)
· Belah ketupat adalah jajarangenjang yang.........
· Belah ketupat adalah segiempat yang..... 

Yang pertama menunjukkan genus proksimum, yaitu “jajarangenjang”, sedangkan yang kedua tidak menyebutkan genus proksimum yang berakibat tdak ekonomis. Sedangkan diferensia spesifikasinya adalah keterangan yang terdapat di belakang kata “yang”.

2. Definisi ginetik
Suatu definisi dikatakan bersifat ginetik bila definisi itu menunjukkan atau mengungkapkan cara terjadinya atau membentuknya konsep yang didefinisikan. 

• Trapesium adalah segiempat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya. 
• Jaring-jaring limas adalah bangun yang terjadi bila sisi-sisi limas direbahkan dengan poros rusuk alas sehingga sampai ke bidang pemuat alasnya.

3. Definisi dengan rumus 

Suatu definisi tidak selalu dinyatakan dengan ungkapan berbentuk kalimat biasa, dapat juga diungkapkan dengan kalimat matematika. Dengan demikian, dapat berbentuk suatu rumus. Perhatikan definisi ini: 

• Dalam ilmu bilangan atau field a – b = a + (-b) 
• Dalam aljabar n! = 1.2.3.4......(n-2).(n-1).n, dengan 0! = 1! = 1 (bentuk terakhir itu ada juga yang menyebut bentuk induksi)

D. Intensi dan Ekstensi Suatu Definisi 

Ekstensi suatu definisi adalah himpunan yang tertangkap oleh suatu definisi atau jangkauannya. Sedangkan Intensi adalah isi kata atau mana kata yang terkandung dalam suatu definisi. Sebagai contoh perhatikan definisi-definisi trapesium berikut:

1. Trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar. 
2. Segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya adalah trapesium.

Kedua definisi di atas memiliki isi kata atau makna kata yang berbeda, tetapi mempunyai jangkauan yang sama. Atau dengan kata lain kedua definisi tersebut memiliki intensi yang berbeda tetapi memiliki ekstensi yang sama. Kesamaan ekstensi dikarenakan tidak ada trapesium menurut definisi I yang tidak termasuk dalam trapesium menurut definisi 2 begitu juga sebaliknya. Dua atau lebih definisi yang memiliki ekstensi sama desebut definisi yang ekuivalen.

Notes: Lebih lengkapnya hubungi nama di atas ^_^. jika di copy, mesti beradab. cantumkan kami sebagai sumber :)

#rindukuliah

#math'B'11'PPsUNM